จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ ซึ่งมีการใช้งานในหลายแขนง เช่น วิศวกรรม ไฟฟ้า และฟิสิกส์ จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนที่ประกอบด้วยส่วนจริง (Real Part) และส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) โดยทั่วไปแล้วจะเขียนในรูป z = a + bi โดยที่:
i คือหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติ i² = -1
a คือส่วนจริง (real part)
b คือส่วนจินตภาพ (imaginary part)
จำนวนเชิงซ้อน: การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
บทนำ
จำนวนเชิงซ้อนเป็นส่วนหนึ่งที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ที่ขยายขอบเขตของจำนวนจริงออกไปให้ครอบคลุมรากที่สองของจำนวนลบ ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่มีอยู่ในระบบจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนมีประโยชน์อย่างมากในการแก้สมการต่างๆ โดยเฉพาะสมการพหุนาม และยังถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา เช่น วิศวกรรม ไฟฟ้า และฟิสิกส์ ในบทความนี้ เราจะมาทำความเข้าใจเกี่ยวกับการดำเนินการพื้นฐานกับจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร
จำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้ในรูปทั่วไปคือ z = a + bi โดยที่:
- a คือส่วนจริง (real part)
- b คือส่วนจินตภาพ (imaginary part)
- i คือหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติ i² = -1
1. การบวกและการลบ
การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนทำได้โดยการบวกหรือลบส่วนจริงและส่วนจินตภาพเข้าด้วยกันตามลำดับ
- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
2. การคูณ
การคูณจำนวนเชิงซ้อนทำได้โดยการกระจายพจน์และใช้สมบัติ i² = -1
- (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i
3. การหาร
การหารจำนวนเชิงซ้อนทำได้โดยการคูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน
(a + bi) / (c + di) = [(a + bi) × (c – di)] / [(c + di) × (c – di)]
4. สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi คือ z̅ = a – bi
การใช้จำนวนเชิงซ้อนในชีวิตประจำวัน
จำนวนเชิงซ้อนมีการใช้งานในหลายด้าน โดยเฉพาะในสาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า การวิเคราะห์สัญญาณ ระบบควบคุม และในฟิสิกส์ การคำนวณด้วยจำนวนเชิงซ้อนช่วยให้สามารถวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า การเคลื่อนไหวแบบคลื่น และการสั่นได้อย่างมีประสิทธิภาพ